Condition de chaîne dénombrable
Pour les articles homonymes, voir Conditions de chaîne.
En mathématiques, la condition de chaîne dénombrable est une notion concernant les ensembles ordonnés.
Définition[modifier | modifier le code]
Dans un ensemble ordonné E, on appelle antichaîne forte (en) tout ensemble d'éléments de E deux à deux incompatibles, ou encore, toute partie de E dont aucune paire n'est minorée. C'est donc une partie A telle que
![{\displaystyle \forall x,y\in A\quad \forall z\in E\quad \left[(z\leq x{\text{ et }}z\leq y)\Rightarrow x=y\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bd929f1c820d1a0e19baf6c7e88ea39bac50fa)
On dit que E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque toute antichaîne forte de E est au plus dénombrable.
En toute logique, on devrait dire « condition d'antichaîne dénombrable » pour éviter une certaine confusion avec de véritables notions[réf. nécessaire] de chaînes comme noethérien ou artinien mais, comme souvent, on préfère garder[réf. nécessaire] l'appellation historique.
On peut généraliser. Pour un cardinal κ donné, on dit que E vérifie la κ-condition de chaîne lorsque toute antichaîne forte de E est de cardinal strictement inférieur à κ. Ainsi, la condition de chaîne dénombrable correspond à la ℵ₁-condition de chaîne.
Espaces topologiques[modifier | modifier le code]
On dit qu'un espace topologique E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque l'ensemble de ses ouverts non vides, ordonné par l'inclusion, vérifie la condition de chaîne dénombrable comme défini ci-dessus. Cela revient à dire que toute famille d'ouverts non vides de E deux à deux disjoints est au plus dénombrable. On dit alors que sa cellularité est au plus dénombrable.
Par exemple, la cellularité d'un espace discret est égale à son cardinal.
Si un espace est séparable alors il vérifie la condition de chaîne dénombrable[1].
La réciproque est vraie pour un espace métrisable mais fausse en général : par exemple {0, 1}κ, comme tout produit d'espaces séparables, vérifie la condition de chaîne dénombrable[2] mais il n'est séparable que si κ ≤ ℭ[3].
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Plus généralement, la cellularité d'un espace est inférieure ou égale à sa densité.
- Plus généralement, si κ est un cardinal infini, tout produit d'espaces de densités majorées par κ a une cellularité inférieure ou égale à κ : (en) Kenneth Kunen et Jerry E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier, (lire en ligne), p. 42-43.
- Kunen et Vaughan 2014, p. 44.
